A fórmula secreta

Duelos, segredos e matemática

Livro conta história de um episódio fundamental para o nascimento da matemática moderna e retrata uma das disputas mais virulentas da ciência renascentista.

Marcelo Garcia



Duas das mentes mais afiadas do século 16 e uma questão: revelar ou não ao mundo o segredo da fórmula secreta da resolução das equações cúbicas? (imagens: Tartaglia e Cardano/ Wikimedia Commons)

Fórmulas misteriosas, duelos públicos, traições, genialidade, ambição – e matemática! Este é o instigante universo apresentado no livro A fórmula secreta - Tartaglia, Cardano e o duelo matemático que inflamou a Itália da Renascença, último lançamento da coleção 'Meio de cultura', da Editora Unicamp. A publicação resgata a história dos italianos Niccolò Tartaglia e Gerolamo Cardano e da fórmula revolucionária para resolução de equações do terceiro grau. Numa viagem que começa no Egito Antigo, passa pela Grécia, Mesopotâmia e Pérsia até chegar à Itália do século 16, a obra reconstitui um episódio polêmico que marca, para muitos, o início do período moderno da matemática.

Apesar de tratar basicamente de uma história sobre equações, não é necessário nenhum conhecimento prévio para seguir os passos dos protagonistas na Itália renascentista, retratada em vivas cores pelo autor, o físico experimental Fabio Toscano. No fim do século 15, a prosperidade comercial tornou comum na região a existência de escolas de matemática – uma área então bem diferente da atual: as escolas focavam a resolução de casos específicos e não a identificação de regras gerais, por exemplo, e como não existia um sistema de símbolos estabelecido, as equações eram escritas com palavras.

Nesse contexto, acompanhamos a trajetória de Tartaglia. Pobre, autodidata e gago desde a infância – após receber um golpe de sabre no rosto –, ele faz sucesso na juventude em curiosos duelos de conhecimento com outros sábios, comuns na Itália do século 16 e decisivos para impulsionar ou destruir carreiras.
Num duelo de conhecimentos, Tartaglia resolveu, sem revelar o método, equações cúbicas tidas como impossíveis, feito que chamou a atenção de Cardano

Em um desses duelos, Tartaglia derrota com facilidade o veneziano Antonio Maria Fior ao resolver – sem revelar seu método – problemas de um tipo julgado insolúvel: os “cubos e coisas iguais a número” – equações de terceiro grau do tipo x3 + ax = b.

A notoriedade do feito vai aproximá-lo de outro brilhante intelectual de sua época, Gerolamo Cardano, obcecado pela ‘fórmula secreta’. Os dois constroem uma relação conturbada, marcada por amizade e hostilidade, que caminha rumo a um derradeiro e inevitável desafio. No processo, a matemática passará por avanços incríveis, com a descoberta de regras gerais para a resolução de equações do terceiro e do quarto graus, além de tangenciar a importante discussão sobre a necessidade de tornar públicos ou não conhecimentos científicos revolucionários.

Nas páginas da história

A partir de muitos documentos históricos e variadas fontes bibliográficas, Toscano não só apresenta a polêmica entre os italianos, mas mergulha fundo na história da álgebra. A viagem nos leva a conhecer contribuições e conquistas de egípcios, gregos e árabes para a matemática (como a substituição dos algarismos romanos pelos indo-arábicos e a descoberta da solução para equações do segundo grau), além de explorar a estagnação de quase dois mil anos que se abateu sobre o campo – quebrada por Tartaglia e Cardano.

Homem de muitos talentos, Tartaglia atuou em diversas áreas do conhecimento e foi, inclusive, precursor de um novo campo, a balística - apesar de nunca ter disparado um tiro. (foto: Flickr/ lndhslf72 – CC BY-NC-ND 2.0)

A minúcia com que Toscano reproduz os documentos históricos acrescenta um sabor especial à narrativa. Muito da relação entre Tartaglia e Cardano está registrado na profícua correspondência trocada pelos dois – em cartas privadas e comunicados públicos. A partir da transcrição desses documentos é possível vislumbrar suas inseguranças, seus ressentimentos e os subterfúgios que utilizam para atingir seus objetivos. No entanto, essa opção também representa o ponto fraco do livro, já que a reprodução exagerada e repetitiva dos originais acaba por tirar o ritmo da parte final da obra.
A partir das muitas cartas trocadas entre os matemáticos é possível vislumbrar suas inseguranças, ressentimentos e os subterfúgios que utilizam para atingir seus objetivos

Ainda assim, é preciso destacar a habilidade de Toscano em apresentar a matemática de forma simples. O autor consegue percorrer, sem grandes traumas, caminhos que vão da extração de raízes cúbicas a demonstrações geométricas mais complexas – sem dúvida uma tarefa das mais desafiadoras para qualquer iniciativa de divulgação científica ligada à matemática. No entanto, comete o pecado de não detalhar o valor e as consequências do feito de Tartaglia/Cardamo para a álgebra, que ficam apenas subentendidos.

Em última análise, A fórmula secreta apresenta-se como uma ótima opção para conhecer um pouco mais sobre a história da matemática e acompanhar um dos debates científicos mais inflamados do século 16 no campo. Mais do que isso, é uma obra de fácil leitura e uma boa mostra de que é possível abordar temas como álgebra de forma interessante, inteligente e acessível ao grande público.
A fórmula secreta - Tartaglia, Cardano e o duelo matemático que inflamou a Itália da Renascença Fábio Toscano
Editora Unicamp
248 páginas

 Revista Ciência Hoje

Leonardo da Vinci e seu supercérebro

Leonardo da Vinci e seu Supercérebro

COX, Michael. Leonardo da Vinci e seu supercérebro. Trad. Eduardo Brandão. S.P.: Cia. das Letras, 2004, 176 p.

DE PAULA, Enio Freire¹

Em meio ao grande alvoroço editorial causado pela obra “O código Da Vinci” (Editora Sextante, 2004) best-seller do autor norte-americano Dan Brown e seu homônimo cinematográfico, reacendem os fatos relativos � vida e obra de Leonardo da Vinci (1452 - 1519). Misticismos � parte, é possível ao leitor curioso inteirar-se sobre aspectos deste personagem. Se dentre o público leitor encontram-se professores, o assunto até então abordado sob o enfoque místico-religioso ganha status de ciência, mais especificamente de história da ciência; pois é tarefa docente fornecer não apenas seus conteúdos pedagógicos de forma pronta e acabada, mas sim apresentar também aspectos do ser humano responsável pela criação, desenvolvimento e divulgação da determinada área científica.

Um exemplo desse ideal é o livro Leonardo da Vinci e seu supercérebro, de autoria de Michael Cox lançado no Brasil em 2004 (Companhia das letras, 176 pág., tradução de Eduardo Brandão, ilustrações de Clive Goddard) é o quarto exemplar integrante da coleção Mortos de Fama, responsável por apresentar biografias de personagens ilustres da História (Cleópatra, Al Capone e Elvis Presley) e da Ciência (Isaac Newton, Albert Einstein e agora Leonardo da Vinci) ao dito público infanto-juvenil, de maneira simples, bem humorada e recheada de belas ilustrações. O livro, organizado em 14 pequenos capítulos, excluídos dessa contagem a introdução e o epílogo, relata a vida de Leonardo da Vinci e suas principais obras, bem como discute os fatores históricos envolvidos no período em que esta personagem viveu.

Leonardo nasceu na aldeia de Vinci, na atual Itália em 15 de abril de 1452, e devido a separação dos pais pouco depois de seu nascimento, o pequeno Leonardo ficou com os avós e o tio paterno, Francesco, no vilarejo de Vinci. Durante a infância, relata Michael Cox, embora não se saiba muito sobre esse período de sua vida, Leonardo era um garoto extremamente curioso e desenhava tudo o que via. Acredita-se também que ele não freqüentou a escola, mas sim teve como orientador o padre do vilarejo, que lhe ensinou “coisas fundamentais”. Michael Cox as descreve como os “Três As”: aritmética, a ler, a escrever.

Na adolescência Leonardo e seu pai mudam para Florença. Neste momento do livro (Capítulo “A Renascença é um Barato”), o autor faz um corte histórico e retrata os aspectos da Florença do século XV junto as principais características do período Renascentista, de modo humorado e muito bem ilustrado.

Nos três capítulos seguintes (“Garanta o seu futuro no Estúdio Verrocchio”, “Um é pouco, dois é bom, três é demais!” e “Pintando o Sete”) é retratado o período em que Leonardo freqüentou o ateliê de Andréa Del Verrocchio em Florença. Naquela época, começava-se como aprendiz nesses estúdios de arte. O leitor é convidado a vivenciar o dia-a-dia de Leonardo neste ambiente: o autor descreve os pormenores dessas atividades como o preparo dos materiais, a moagem dos pigmentos (os insetos são a fonte das cores!), confecção de pincéis (feitos com pêlos de porco) e as diferenças entre a pintura a tempera � ovo e a pintura � óleo.

Um capítulo inteiro é dedicado � discussão histórica do surgimento da perspectiva e a contribuição que Leonardo criará: o perspectógrafo, cuja função segundo o autor, era destinado a facilitar o desenho e a pintura e a garantir máxima precisão dos detalhes e da perspectiva. Leonardo ajudou seu mestre, Verrocchio, na pintura de um anjo em um de seus quadros; partindo daí, o autor trata as diversas técnicas de pintura renascentista: sfumato, chiaroscuro e afresco. Depois desse episódio, Leonardo, então com 23 anos inicia sua carreira de mestre-pintor na Companhia de São Lucas, uma das associações florentinas de artistas. No capítulo “Estados Desunidos da Itália”, Michael Cox discute a situação política da atual Itália, no século XV: um território dividido em cerca de 14 cidades-Estado, cada qual controlada por uma família (Médici, Sforza, entre outros), que vez ou outra entravam em guerra.

Embora até aqui não tenha sido mencionado, o autor utiliza-se de outro artífice, além das ilustrações, com o intuito de aproximar leitor e personagens: muitos fatos são narrados via um “jornal de época” como “A Folha de Florença” e o “Tribuna Milanesa”, além das anotações no “Caderno Perdido do Léo”. Detalhe importante: Leonardo escreveu mais de 13 mil páginas sobre os mais variados assuntos como música, anatomia e mecânica, a maioria deles de uma forma curiosa: Leonardo escrevia de trás para frente da direita para a esquerda! Em 1482, então com 30 anos de idade, Leonardo muda-se de Florença para Milão, e consegue um cargo no palácio de Ludovico Sforza (1451 - 1508). Leonardo exerce pelo menos três cargos, segundo o autor: 1º) pintor da corte; 2º) Mestre das festividades da corte e 3º) Engenheiro-geral e Mestre-de-obras. Foi neste período, em Milão, que Leonardo da Vinci envolveu-se num grande projeto: a construção de uma estátua de bronze de um gigantesco cavalo que, infelizmente não chegou a ser realizada por ele (apenas 500 anos depois...); e pintou a “Última Ceia”, localizada no refeitório (melhor lugar para retratar uma ceia!) do mosteiro de Santa Marie delle Grazie, também localizado em Milão. Nos momentos subseqüentes são apresentados ao leitor as principais datas de tentativa e/ou realização das restaurações na obra, bem como os infortúnios ocorridos com a mesma. Em 1500, sai de Milão e daí em diante, e praticamente pelo resto da vida, Leonardo perambula por diversas cidades da Europa, sem destino certo.

Os capítulos finais abordam as invenções bélicas e detalhes da obra Mona Lisa, mundialmente conhecida e também de sua autoria, além das discussões entre ele e o então jovem Michelangelo Buonarrotti (1475 – 1564). Há um capítulo exclusivo � um dos fascínios de Leonardo: as máquinas voadoras. Leonardo morreu em 2 de maio de 1519, aos 67 anos. Seu corpo foi enterrado na França e devido a restaurações posteriores não se sabe ao certo se os ossos ali enterrados são, realmente, de Leonardo. Devido a esta dúvida, está gravado o seguinte em sua lápide:

“AQUI JAZ O QUE SE ACREDITA SEREM OS RESTOS MORTAIS DE LEONARDO DA VINCI”. A leitura deste livro, inicialmente de caráter despreocupado e juvenil, demonstra que entre a leitura fácil, agradável e indiscutivelmente bem humorada é possível proporcionar ao leitor, seja ele de qualquer idade, fatos interessantes e cientificamente corretos, mediante uma abordagem diferenciada. O conhecimento científico não é exclusividade dos poucos escolhidos do Olimpo: são de extrema importância sugerir tais leituras a todos, jovens, adultos e crianças. Boa leitura!

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¹Discente do 4º ano do curso de Licenciatura em Matemática da FCT-UNESP campus de Presidente Prudente e atua junto ao L.E.M - Laboratório de Ensino de Matemática, mantido pela mesma isntituição.

Revista Saber Acadêmico

Deus é matemático?

Celebração da descrença

Livro debate o fato de a matemática ser aplicável a quase tudo, inclusive a ciências irmãs. Os números seriam tão presentes no universo que valeria a pergunta: será que o Criador era matemático?

Por: Thiago Camelo

Publicado em 23/02/2011 | Atualizado em 23/02/2011

Euclides, Pitágoras, Platão e outros filósofos dividem o mesmo espaço na imaginação de Rafael, no afresco 'Escola de Atenas'. Em ambiente parecido, acredita-se, a matemática como sinônimo de perfeição começou a ser forjada. (foto: Wikimedia Commons)

O mais recente livro do astrofísico romeno Mario Livio chama-se Deus é matemático?Não é a primeira vez que Livio investiga e responde (ou tenta responder) questão do tipo. Sua bibliografia – Razão Áurea: a história de Fi, um número surpreendente, A equação que ninguém conseguia resolver, entre outros livros – conta com obras que perseguem símbolos (números, razões) que aproximariam, de algum modo, o 'mundo real' do universo da matemática. Dessa vez, em seu novo livro, o cientista parece ter bancado a pergunta que sempre tangenciou em seus escritos pregressos.

A matemática seria criação do homem ou da natureza (Deus)?

Afinal, a "efetividade da matemática" (termo do Nobel Eugene Wigner) na vida prática é fruto de uma invenção do homem? Ou não, é mais que isso? Será que a matemática sempre esteve entre nós, com suas regras preestabelecidas, universais por assim dizer, e que nosso papel seria apenas mergulhar fundo em seu mistério (preexistente!) para de lá entender um mundo regido por números?

Em outras palavras: a matemática seria criação do homem ou da natureza (Deus)?

Em Deus é matemático?, Livio aponta: "Não importa se são físicos tentando formular teorias do universo, analistas de bolsa de valores coçando a cabeça para prever a próxima quebra do mercado, neurobiólogos construindo modelos da função cerebral ou estatísticos do serviço secreto militar tentando otimizar a alocação de recursos; todos eles estão usando matemática."

De fato, impressiona bastante o fato de a matemática ser a 'Ciência das ciências'. Segundo Livio, o método científico de René Descartes (1596-1650) foi fundamental para que a matemática servisse como prova da validade da maioria das teorias. Para ser 'verdade', é necessário provar em números.

Assim, o autor brinca com a falsa modéstia dos matemáticos que afirmam que essa ciência não 'serviria para nada' ou, dependendo do estudo, teria pouca (ou nenhuma) aplicabilidade no mundo físico. Livio fala da "efetividade passiva": termo cunhado para apontar abstrações da matemática que, anos (ou séculos) depois, são usadas para algo prático. Cita ateoria dos números do matemático britânico Godfrey Harold Hardy (1877-1947) como exemplo.

Hardy enchia-se de orgulho para dizer que não via aplicabilidade alguma no seu estudo. Estava errado. Décadas depois, houve uma revolução no desenvolvimento de códigos criptografados. A grande maioria valia-se dos estudos do matemático britânico.

Livio cita ainda uma dezena de outros estudiosos que, assim como Hardy, tiveram seus trabalhos usados efetivamente em anos posteriores mesmo sem intenção.

A matemática não seria apenas mais uma expressão da mente humana?

Mas a pergunta persiste: afinal, a coincidência da matemática com 'as coisas do mundo tangível' são meras coincidências ou há uma verdade dos números por trás de tudo?

Em mais da metade das 352 páginas do livro, tudo leva a crer que a resposta de Livio será: "Sim, Deus é matemático". Mas uma bem-vinda reviravolta é apresentada quando o autor introduz opiniões alternativas que dizem que não, que a matemática é apenas "mais uma forma de expressão da mente humana" – tal qual as artes ou a filosofia.

O autor expõe os argumentos do matemático britânico Michael Atiyah (1929-), vencedor da Medalha Fields (prêmio concedido pela União Internacional de Matemática) em 1966. Atiyah dizia ser bastante sedutor acreditar que a matemática era uma ciência preexistente, pré-humana. Mas não podia compactuar com essa visão.

Sua explicação: ele afirmava que 'o contar', o ato mais básico da matemática, poderia não ser uma noção primordial caso a inteligência não tivesse residido na espécie humana (que tem dois braços, duas pernas, uma cabeça etc.), e sim em uma água-viva isolada nas profundezas do oceano. Para o matemático, se assim fosse, os dados sensoriais básicos não estariam disponíveis para o desenvolvimento da matemática como a conhecemos, afinal não existiria nada para contar.

Portanto, a nossa matemática não passaria de uma questão de cognição, de estar no mundo, de sentir o mundo com os sentidos humanos.

Meio-termo

Mario Livio chega ao fim de sua jornada (involuntária) pela história da matemática sem uma resposta definitiva. No final, apresenta um politicamente correto meio-termo entre as duas visões para responder a sua pergunta-título. A matemática está no humano e na natureza e os dois, de alguma forma, interagem.

Viajamos de Pitágoras aos matemáticos mais modernos

No fundo, a viagem que fazemos durante o texto – desde Pitágoras até os matemáticos mais modernos – ressoa muito mais do que a pergunta que dá título ao livro. Afinal, entender o caminho que levou alguns a verem a matemática como "milagre" e outros, como expressão humana, é muito mais instigante do que descobrir a solução de um suposto mistério.

A dúvida persistente, aliás, torna o livro ainda mais bonito. Levar a matemática como profissão de fé e a elevar metaforicamente ao trono de Deus soaria dogmático e ortodoxo (como qualquer religião radical), caso a questão não fosse discutida, relativizada e reavaliada, como em toda 'boa experiência' científica. Parafraseando não o poeta, mas o físico e matemático francês Blaise Pascal (1623-1662): há razões que a própria razão desconhece – e saber disso, como prova este Deus é matemático?, expande a nossa percepção do mundo.

Deus é matemático?
Mario Livio
Rio de Janeiro, 2010, Editora Record

Ciência Hoje On-line

Teoria Intuitiva dos Conjuntos

Uma obra didática original

Newton C. A. da Costa


O livro Teoria Intuitiva dos Conjuntos é o resultado da colaboração de um professor de Matemática e de um biólogo, integrantes do Grupo de Lógica e Teoria da Ciência do Instituto de Estudos Avançados da Universidade de São Paulo.

Destina-se a pesquisadores, professores e alunos (de graduação e pós-graduação) das áreas de ciências exatas e biológicas (para estas últimas tendo sido especialmente escrito), e pode ser utilizado com proveito na área das ciências humanas.

A abordagem utilizada é a teoria ingênua dos conjuntos (intuitiva, como consta do título). É uma obra didática original, em que certos tópicos de Biologia comparada são tratados pela primeira vez na literatura de maneira sistemática, conjuntista.

A linguagem da Teoria dos conjuntos é, em certo sentido, uma linguagem universal. Todo pensamento racional, em particular o científico, é fundamentalmente conceituai. Procura-se compreender e dominar a realidade através de redes conceituais. Ora, todo conceito possui uma compreensão (ou intensão) e uma extensão: a primeira se constituindo pela totalidade das notas que compõem um conceito e a segunda pelo conjunto (ou classe) formado pelos objetos aos quais o conceito se aplica; assim, por exemplo, o conceito homem possui uma intensão (ou compreensão) composta por notas como ser, material,animado e racional; sua extensão se identifica com o conjunto dos homens. A Lógica e a Matemática podem ser definidas como ciências que se ocupam da estrutura formal dos sistemas conceituais. Logo, têm a ver com as extensões dos conceitos e, sob certos aspectos, toda a Matemática tradicional se reduz à Teoria dos conjuntos. Assim sendo, não pode haver pensamento racional sem redes conceituais e, portanto, sem Lógica e Matemática; ou seja, sem Teoria dos conjuntos. Deste modo, verifica-se a universalidade da linguagem conjuntista e das teorias correspondentes.







Por tudo isto, parece razoável admitir-se que a Teoria dos conjuntos deve estar na base de todas as ciências, pelo menos em princípio.

Surpreendentemente, as diversas ciências naturais e humanas normalmente se desenvolvem sem se dar conta de seu caráter conjuntista. O grande mérito da obra de Abe & Papavero é o de resgatar a relevância das idéias fundamentais da Teoria dos conjuntos para a Biologia comparada e, em geral, para a Biologia, o que significa que outras áreas da ciência também tirariam proveito de uma abordagem conjuntista.

Na obra em apreço, a demonstração da relevância dos conjuntos para a Biologia não é apenas discutida, mas demonstrada através de exemplos e aplicações (especialmente no Apêndice 2: Operações com conjuntos e Taxonomia biológica, e no Apêndice 4: Relações de ordem e Sistemática filogenética).

O presente volume possui quinze capítulos, assim distribuídos:

1. A Teoria dos conjuntos (onde é dado um breve histórico da criação da teoria por Georg Cantor, e mostrada sua importância para as ciências matemáticas e as ciências empíricas).

2. Noções fundamentais.

3. Subconjuntos.

4. Operações com conjuntos (I): Complementação.

5. Operações com conjuntos (II): Interseção.

6. Operações com conjuntos (III): União.

7. Operações com conjuntos (IV): Diferença.

8. Produto cartesiano.

9. Grafos.

10. Relações.

11. Relações sobre um conjunto.

12. Relações de equivalência.

13. Relações de ordem.

14. Elementos notáveis de um sistema ordenado.

15. Reticulados.

Esses capítulos são entremeados por apêndices (4 no total) que tratam geralmente de aplicações da Teoria de conjuntos no campo da Biologia comparada, como já comentado acima.

Um segundo volume está em fase final de redação, completando assim a obra.

Convém lembrar aqui que existiram precursores da aplicação sistemática da Teoria dos conjuntos à Biologia - notadamente J. R. Gregg (com seu The language of taxonomy: an application of symbolic logic to the study of classificatory systems, 1954) e J. H. Woodger (com seu The axiomatic method in biology, 1937, e Biology and language: an introduction to the methodology of the biological sciences including medicine, 1952; só para citar suas duas obras principais). Porém, trabalhos como os de Woodger não eram funcionais, no sentido de não constituírem instrumento de trabalho quotidiano para o biólogo, a não ser em questões mais profundas, referentes à axiomatizacão e metodologia da Biologia. O presente livro, ao contrário, fornece-nos uma formulação funcional, que pode ser usada no dia-a-dia do biólogo (e de outros cientistas empíricos) e, inclusive, facilita o ensino dessa ciência.

Os autores estão de parabéns por terem sido pioneiros em uma revolução coperniciana na Biologia!


Newton C. A. da Costa é professor da Faculdade de Filosofia, Letras e Ciências Humanas da USP e coordenador do Grupo de Lógica e Teoria da Ciência do IEA.

Revista Estudos Avançados - USP